Фильтр Найквиста и Фильтр с характеристикой «Приподнятый косинус»

Прочтите предыдущую статью о межсимвольных искажениях, чтобы глубже погрузиться в тему и Вам будет проще разобраться с темой Фильтр Найквиста.

Найквистом была установлена минимальная полоса пропускания для обеспечения нулевых межсимвольных искажений. Если взять фильтр с прямоугольной АЧХ и шириной полосы пропускания:

  • fпп=Rs/2 Гц для ФНЧ, на вход которого поступает импульсный низкочастотный сигнал;
  • fпп=Rs Гц для полосового фильтра, на вход которого поступает полосовой сигнал;

где Rs – символьная скорость [символ/с], то такой фильтр не будет вносить межсимвольных искажений.

Фильтр, имеющий прямоугольную частотную передаточную характеристику с полосой пропускания fпп=Rs Гц (fпп=Rs/2 Гц для ФНЧ), называется идеальным фильтром Найквиста.

Канал с минимальной полосой пропускания

Чтобы разобраться, почему фильтр Найквиста не вносит межсимвольных искажений, рассмотрим импульсную характеристику ФНЧ Найквиста с полосой пропускания fпп=Rs/2.

Если не помните, что такое импульсная характеристика, самое время вспомнить. Импульсная характеристика фильтра Найквиста описывается sinc-функцией:

Если от такой функции построить график, то мы увидим, что она равна нулю в моменты времени t=k∙T, где Т – период следования импульсов (символов).

Рассмотрим ситуацию, когда в качестве импульсов (носителей информации) выступают дельта-импульсы. Положительный дельта-импульс передает символ «1», а отрицательный соответственно символ «0». Каждый дельта-импульс, поступающий на вход фильтра Найквиста, формирует отклик на выходе, повторяющий импульсную характеристику фильтра, т.е. sinc-функцию. Так как период следования импульсов равен Т, отклики на выходе также будут смещены друг относительно друга на время T.

Если внимательно посмотреть на выходные отклики, то видно, что когда один отклик достигает максимума, все остальные отклики равны нулю. Именно в этот момент времени межсимвольные искажения отсутствуют – предыдущие отклики не влияют на следующий.

Символьная синхронизация

Так как было установлено, что межсимвольные искажения (МСИ) равны нулю только в определенный момент времени: когда один отклик максимален, а все остальные равны нулю, то следует вывод о том, что в приемнике необходима символьная синхронизация.

Под символьной синхронизацией подразумевается процедура, при которой автоматически определяется оптимальный момент выборки сигнала. Выборка сигнала должна производиться в момент максимального раскрытия «глазка», когда межсимвольные искажения минимальны. Если момент выборки запаздывает или опережает, то на устройство принятия решения поступает сигнал с уменьшенной амплитудной, а значит и меньшим отношением сигнал/шум.

Так как символьная скорость и полоса пропускания фильтра Найквиста связаны выражением fпп=Rs (для полосового фильтра), из этого следует, что для передачи информации полосовым сигналом без МСИ требуется не менее 1 Гц полосы на 1 символ/с. Например, в полосе 1 МГц без МСИ можно передавать информацию со скоростью не более 1 Мбит/c при модуляции 2-ФМн.

Учитывая, что импульсная характеристика идеального фильтра Найквиста «хвостами» уходит в +∞ и -∞, то данный фильтр физически не реализуем. Если импульсная характеристика уходит в -∞, то отклик на выходе фильтра должен появиться еще до того, как на фильтр подали воздействие, которое породило этот отклик.

Чтобы фильтр сделать реализуемым, необходимо сделать импульсную характеристику конечной (рисунок слева). Такой фильтр по-прежнему будет обеспечивать нулевые межсимвольные искажения, но АЧХ его будет уже не прямоугольной (рисунок справа).

По рисунку АЧХ видно, что в полосе пропускания появилась неравномерность, а за пределами полосы пропускания сигнал подавляется не полностью (20 – 50 дБ в данном примере). Длина импульсной характеристики связана с порядком фильтра – чем длиннее «хвосты» импульсной характеристики, тем больше порядок фильтра, и тем больше АЧХ фильтра будет приближаться к идеальной прямоугольной форме.

При проектировании фильтра необходимо стремиться к тому, чтобы подавление за пределами полосы пропускания было как можно больше. Очевидно, что для этого необходимо увеличить порядок фильтра. Но внеполосное подавление можно увеличить в некоторых пределах и другим способом. Прежде чем выяснить каким именно способом, сделаем небольшое отступление.

Стоит отметить, что фильтром Найквиста часто называют обширный класс фильтров, удовлетворяющих условию нулевой межсимвольной интерференции. АЧХ таких фильтров уже не будет прямоугольной, а полоса пропускания их будет больше, чем fпп=Rs, но они по-прежнему будут обеспечивать нулевые МСИ. Импульсную характеристику такого фильтра можно представить через произведение sinc-функции и любой другой вещественной функции.

Напомню, что sinc-функция – это импульсная характеристика идеального фильтра Найквиста, имеющего прямоугольную АЧХ.

  • h(t)=hN(t)·w(t)
  • где hN(t)=sinc(πt/T)

Таким образом, существует бесконечное количество фильтров, обеспечивающих нулевое МСИ.

На рисунке ниже представлен пример получения импульсной характеристики произвольного фильтра, обеспечивающего нулевые межсимвольные искажения. Фильтр, имеющий подобную импульсную характеристику (правый рисунок), обеспечивает нулевые МСИ по той причине, что это импульсная характеристика принимает нулевые значения в моменты времени k∙T, также как и sinc-функция.

Фильтр с характеристикой «Приподнятый косинус»

Вернемся к вопросу, каким способом можно дополнительно увеличить внеполосное подавление при фиксированном порядке фильтра (фиксированной длине ИХ). Применение некоторых весовых окон w(t), с которыми перемножается sinc-функция, позволяет этого добиться. Задача такого весового окна заключается в плавном уменьшении амплитуды «хвостов» импульсной характеристики. На практике широкое распространение получил фильтр с амплитудно-частотной характеристикой типа «приподнятый косинус».

Получение фильтра с характеристикой «приподнятый косинус» получается путем умножения импульсной характеристики идеального фильтра Найквиста h(t) на весовое окно w(t):

  • h(t)= sinc(π·t/T)·w(t)
  • w(t)=cos(π·β·t/T)/(1-4·β^2·t^2/T^2)

где β коэффициент сглаживания, принимающий значение от 0 до 1. Причем если β=0, то w(t)=1, и следовательно, мы получаем идеальный фильтра Найквиста. Импульсная характеристика фильтра «приподнятый косинус» убывает значительно быстрее, поэтому усечение «хвостов» не приводит к столь высокому уровню боковых лепестков.

На рисунке ниже приведено математическое выражение, описывающее АЧХ фильтра с характеристикой «приподнятый косинус» и вешний вид АЧХ. По рисунку видно, что фронты АЧХ зависят от параметра β – чем больше β, тем более плавно спадают фронты. Расплачиваться за это приходится увеличением полосы пропускания.

Если при коэффициенте сглаживания β=0 имеем фильтр с прямоугольной частотной характеристикой (идеальный фильтр Найквиста), то при β=1 имеем фильтр, АЧХ которого выглядит как приподнятый косинус (правый рисунок, зеленая кривая).

По импульсной характеристике (левый рисунок) хорошо видно, что при увеличении β «хвосты» импульсной характеристики убывают значительно быстрее. Если «хвосты» импульсной характеристики малы по уровню, то их усечение не приводит к значительному изменению АЧХ.

Рассмотрим, как влияет на сигнал фильтр с характеристикой «приподнятый косинус». На данном слайде приведен пример спектра сигнала с двоичной фазовой манипуляцией 2-ФМн (BPSK) без фильтрации (черный график) и с фильтрацией (цветные графики). Спектр 2-ФМн сигнала без фильтрации значительно шире по сравнению с фильтрованным сигналом.

Частотное пространство является ценным ресурсом, поэтому необходимо стремиться к его более эффективному использованию. В одном частотном диапазоне можно разместить гораздо большее количество сигналов, полученных с помощью фильтра «приподнятый косинус», чем сигналов без фильтрации.

По рисунку также видно, как влияет параметр β на уровень внеполосного излучения. Увеличение β приводит к увеличению внеполосного подавления фильтра, и как следствие, уменьшению уровня внеполосного излучения. В данном случае порядок фильтра один и тот же.

На рисунке ниже представлены глазковые диаграммы сигнала, сформированного с помощью фильтра «приподнятый косинус». По данным диаграммам можно сделать следующие выводы: 1) Межсимвольные искажения отсутствуют, так как все траектории пересекаются в точках.

2) С увеличением параметра β происходит увеличение флуктуации амплитуды (огибающей сигнала).

3) С увеличением параметра β возрастают требования к стабильности времени выборки сигнала. В реальных приемниках момент выборки сигнала определяется системой символьной (тактовой) синхронизации, а так как любая реальная система не идеальна, то и момент выборки сигнала не всегда точно попадает в максимум раскрытия глазковой диаграммы (см. рисунок ниже).

Диапазон, в котором происходит отклонение момента выборки от оптимального значения, определяется характеристиками системы символьной синхронизации. При одном и том же отклонении момента выборки глазковая диаграмма для сигнала с малым β закрывается сильнее, чем с большим β. Уменьшение раскрытия глазковой диаграммы приводит к ухудшению помехоустойчивости вследствие увеличения межсимвольных искажений.

До этого момента мы рассматривали влияние фильтра на межсимвольные искажения и пришли к выводу, что если использовать фильтр Найквиста или другие фильтры, полученные на его основе, такие как «приподнятый косинус», то можно устранить МСИ. Для уменьшения ширины спектра сигнала мы расположили этот фильтр после демодулятора. Но, на пути распространения сигнала от модулятора передающего устройства к демодулятору приемного устройства располагается как минимум еще один фильтр – фильтр основной селекции приемника. Если фильтр передатчика не внесёт МСИ, то они возникнут после второго фильтра:

А необходимо обеспечивать отсутствие межсимвольных искажений непосредственно перед демодулятором, а не в канале связи! Поэтому необходимо, чтобы частотная характеристика всего тракта передачи сигнала, включая фильтр передатчика, канал связи и фильтр приемника, имела вид «приподнятый косинус».

Для начала исключим канал связи из рассмотрения и вернемся к нему позже. Таким образом, тракт передачи будет состоять всего из двух фильтров: формирующий фильтр в передатчике и фильтр основной селекции приемника (см. рисунок ниже). Общая частотная характеристика Hобщ(f) двух последовательно соединённых фильтров определяется произведением их частотных характеристик H1(f) и H2(f). Возникает вопрос, какими должны быть характеристики H1(f) и H2(f), чтобы общая характеристика Hобщ(f) была «приподнятый косинус»?

Очевидно, что если взять оба фильтра одинаковыми, и при этом характеристика каждого будет определяться как «корень из приподнятого косинуса», то общая характеристика будет «приподнятый косинус»:

Зададимся вопросом, почему фильтры в приемнике и передатчике должны быть одинаковыми, т.е. иметь характеристику «корень из приподнятого косинуса»? Для обеспечения нулевых межсимвольных искажений требуется, чтобы общая характеристика была «приподнятый косинус», так может и не обязательно делать одинаковыми?

  • HRC(f)=H1(f)·H2(f)
  • H1(f)≠ H2(f)

Чтобы ответить на этот вопрос, разберемся, какой сигнал получается на выходе первого фильтра, при подаче на его вход дельта-импульса. Напомню, что для того, чтобы фильтр Найквиста обеспечивал нулевые искажения, на его вход нужно подавать дельта-импульс. Дельта-импульсы в этом случае являются носителями информации.

Если на вход фильтра подать дельта-импульс, то на выходе фильтра получим сигнал, который повторяет его импульсную характеристику.

Если второй фильтр (фильтр основной селекции приемника) будет иметь такую же характеристику, то сигнал, который присутствует на его входе, будет повторять его импульсную характеристику. Это означает, что фильтр будет согласованным для данного сигнала.

Напомню, что импульсная характеристика согласованного фильтра зеркально повторяет форму сигнала, к которому он согласован.

Учитывая, что сигнал симметричный то при отзеркаливании получается тот же сигнал.

Вывод: если фильтры передатчика и приемника будут одинаковыми, и каждый будет иметь характеристику «корень из приподнятого косинуса», то фильтр приемника будет согласованным. В противном случае, согласованной фильтрации не получится.

Достоинства:

  1. Фильтр передатчика уменьшает ширину спектра сигнала.
  2. Отсутствуют межсимвольные искажения.
  3. Фильтр приёмника получается согласованным.

Недостатки:

  • Возникает флуктуация амплитуды сигнала, т.е. увеличивается пик-фактор сигнала.
  • Ужесточаются требования к символьной синхронизации.

Модулятор ФМн и КАМ сигналов с фильтрацией сигнала

Рассмотрим структуру модулятора ФМн и КАМ сигналов с фильтрацией. Первым блоком стоит формирователь символов, который в зависимости от входных битов формирует две квадратуры I и Q – координаты символа на комплексной плоскости.

Далее необходимо квадратуры I и Q преобразовать в дельта-импульсы I∙δ(t) и Q∙δ(t). Формирование дельта-импульсов необходимо для того, чтобы отклик фильтра (сигнал на выходе фильтра) повторял его импульсную характеристику. В данном случае, фильтр имеет характеристику «корень из приподнятого косинуса». После этого сигнал поступает на квадратурный модулятор, который преобразует комплексную огибающую (сигнал без несущей; baseband signal) в высокочастотный действительный сигнал.

Оптимальный приемник для ФМн и КАМ сигналов без несущей (Baseband)

Рассмотрим структуру оптимального приемника М-ФМн и КАМ сигналов, использующий фильтр с характеристикой «корень из приподнятого косинуса».  На рассматриваемой структуре квадратурный демодулятор преобразует высокочастотный вещественный сигнал в комплексную огибающую (сигнал без несущей), представленную двумя квадратурами I и Q.

Далее сигнал поступает на ФНЧ «корень из приподнятого косинуса», выполняющего согласованную фильтрацию сигнала, после чего производится выборка сигнала в оптимальный момент времени и принимается решение о принятом символе.

Модель многолучевого канала связи

До этого момента мы рассматривали ситуацию, когда канал связи не вносил линейных искажений, однако реальные каналы ведут себя гораздо сложнее, чем простой канал с белым гауссовским шумом. Если канал связи является многолучевым, то возникают замирания сигнала.

Рассмотрим модель многолучевого канала связи, представленного ниже. Модель включает в себя 4 луча. Сигнал в каждом луче проделывает разный путь и соответственно испытывает разную задержку распространения. Это приводит к тому, что фазы сигналов в точке приема отличается друг от друга, из-за чего возникают замирания – изменение амплитуды и фазы сигнала.

Допустим время распространения сигналов s1(t), s2(t), s3(t) и s4(t) составляет Δt1, Δt2, Δt3 и Δt4 соответственно, и при этом Δt3 < Δt1 < Δt2 < Δt4. Каждый сигнал испытывает ослабление в Kn раз.

Так как сигнал s3(t) прошел самый короткий путь и меньше всего задержался, по сравнению с остальными, возьмем его за основу и определим задержку остальных сигналов относительно сигнала s3(t):

  • Δt1 = ΔT1 + Δt3
  • Δt2 = ΔT2 + Δt3
  • Δt4 = ΔT4 + Δt3

Тогда модель такого канал связи можно представить следующей структурой:

Модель многолучевого канала, представленная выше, является ничем иным как структурой фильтра! Такая модель многолучевого канала связи называется дискретно-временной. Вспомните из дисциплины «Цифровая обработка сигналов» как выглядела структура КИХ фильтра:

Из этого можно сделать вывод, что многолучевой канал связи можно представить как фильтр. А так как это фильтр, он будет также вносить межсимвольные искажения. И если межсимвольные искажения, вносимые формирующим фильтром передатчика, мы научились успешно устранять, применяя фильтры «корень из приподнятого косинуса», то МСИ канала связи нельзя скомпенсировать обычным фильтром.

Дело в том, что характеристики канала являются нестационарными, т.е. они изменяются во времени, а следовательно, характеристики компенсирующего фильтра также должны адаптивно изменяться, подстраиваясь под характеристики канала. Таким адаптивным фильтром является эквалайзер.

Адаптивный эквалайзер (Эквалайзер)

Эквалайзер – это адаптивный фильтр, характеристика которого подстраивается по заданным критериям, компенсирую искажения, возникающие в канале связи.

Одним из критериев является минимум межсимвольных искажений. Общая характеристика всего тракта связи HG(f) тогда будет определяться следующим выражением: HG(f)= HT(f)· HCh(f)· HR(f)· HEq(f) где

  • HT(f) – характеристика передатчика (формирующего фильтра);
  • HCh(f) – характеристика канала связи;
  • HR(f) – характеристика приемника (приемного фильтра);
  • HEq(f) – адаптивная характеристика эквалайзера.

Характеристика эквалайзера подстраивается таким образом, что общая характеристика тракта связи становится «приподнятый косинус», минимизируя тем самым межсимвольные искажения.

На картинке ниже представлен пример импульсной характеристики всего тракта связи. В первом случае (верхний рисунок) из-за влияния канал связи в моменты времени kT импульсная характеристика не равна нулю, а следовательно, будут возникать межсимвольные искажения.

Адаптивный эквалайзер, подстраивая свою частотную характеристику, компенсирует влияние канала связи. После компенсации импульсная характеристика всего тракта уже равна нулю в моменты времени kT, и следовательно, межсимвольные искажения будут отсутствовать.

Оцените статью
Все о технологиях, мобильных приложениях и тарифах на связь
Adblock
detector